|
|
|
 |
| Testi
di Pisa |
|
|
Prologus Incipit liber Abaci Compositus a leonardo filio Bonacij Pisano
In Anno MCCII.
Scripsistis mihi domine mi magister Michael Scotte, summe philosophe, ut librum de
numero, quem dudum composui, vobis transcriberem: unde vestrae obsecundans po-
stulationi, ipsum subtiliori perscrutans Indagine ad vestrum honorem et aliorum mul-
torum utilitatem correxi. In cuius correctione quedam necessaria addidi, et quedam su-
perflua resecavi. In quo plenam numerorum doctrinam edidi, iuxta modum indorum,
quem modum in ipsa scientia prestantiorem elegi. Et que arismetrica et geometria
scientia sunt connexe, et suffragatorie sibi ad invicem, non potest de numero plena
tradi doctrina, nisi intersecantur geometrica quedam, vel ad geometriam spectantia, que
hic tantum iuxta modum numeri operantur; qui modus est sumptus ex multis proba-
tionibus et demonstrationibus, que figuris geometricis fiunt. Verum in alio libro, quem
de practica Geometrie composui, ea que ad Geometriam pertinent et alia plura copiosis
explicavi, singula subiectis approbationibus geometricis demonstrando. Sane hic liber ma-
gis ad theoricam spectat quam ad praticam. Unde qui per eum huius scientie prac-
ticam bene scire voluerint, oportet eos continue usu et exercitio diuturno in eius pra-
ticis perstudere: quod scientia per practicam versa in habitum, memoria et intellectus
adeo concordent cum manibus et figuris, quod quasi uno impulsu et anelitu in uno
et eodem instanti circa idem per omnia naturaliter consonent: et tunc cum fuerit di-
scipulus habitudinem consecutus, gradatim poterit ad perfectionem huius facile perve-
nire. Et ut facilior pateret doctrina, hunc librum per XV distinxi capitula: ut quicquid
de his lector voluerit, possit levius invenire. Porro si in hoc opere reperitur insufficientia
vel defectus, illud emendationi vestre subicio.
Cum genitor meus a patria publicus scriba in duana bugee pro pisanis mercatoribus
ad eam confluentibus constitutus preesset, me in pueritia mea ad se venire faciens,
inspecta utilitate et commoditate futura, ibi me studio abbaci per aliquot dies stare
voluit et doceri. Ubi ex mirabili magisterio in arte per novem figuras indorum intro-
ductus, scientia artis in tantum mihi pre ceteris placuit, et intellexi ad illam, quod
quicquid studebatur ex ea apud egyptum, syriam, greciam, siciliam et provinciam cum
suis variis modis, ad que loca negotiationis tam postea peragravi per multum studium
et disputationis didici conflictum. Sed hoc totum etiam et algorismum atque arcus picta-
gore quasi errorem computavi respectu modi indorum. Quare amplectens strictius ipsum
modum indorum, et attentius studens in eo, ex proprio sensu quedam addens, et quedam
etiam ex subtilitatibus euclidis geometrice artis apponens, summam huius libri, quam in-
telligibilius potui, in XV capitulis distinctam componere laboravi, fere omnia que in-
serui, certa probatione ostendens, ut extra, perfecto pre ceteris modo, hanc scientiam ap-
petentes instruantur, et gens latina de cetero, sicut hactenus, absque illa minime inve-
niatur. Si quid forte minus aut plus iusto vel necessario intermisi, mihi deprecor
indulgeatur; cum nemo sit qui vitio careat, et in omnibus undique sit circumspectus.
Capitula Explicit prologus. Incipiunt capitula.
[p. 1]
De cognitione novem figurarum yndorum, et qualiter cum eis omnis numerus scribatur;
et qui numeri, et qualiter retineri debeant in manibus, et de introductionibus ab-
baci.
De multiplicatione integrorum numerorum.
De additione ipsorum ad invicem.
De extractione minorum numerorum ex maioribus.
De divisione integrarum numerorum per integros.
De multiplicatione integrarum numerorum cum ruptis atque ruptorum sine sanis.
De additione ac extractione et divisione numerorum integrarum cum ruptis atque par-
tium numerorum in singulis partibus reductione.
De emptione et venditione rerum venalium et similium.
De baractis rerum venalium et de emptione bolsonalie, et quibusdam regulis similibus.
De societatibus factis inter consocios.
De consolamine monetarum atque eorum regulis, que ad consolamen pertinent.
De solutionibus multarum positarum questionum quas erraticas appellamus.
De regula elcataym qualiter per ipsam fere omnes erratice questiones solvantur.
De reperiendis radicibus quadratis et cubitis ex multiplicatione et divisione seu extra-
ctione earum in se, et de tractatu binomiorum et recisorum et eorum radicum.
De regulis proportionibus geometrie pertinentibus: de questionibus aliebre et almuchabale.
1. Cap. I Incipit primum capitulum.
Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur,
scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstratur. Nam numerus est unitatum per-
fusa collectio sive congregatio unitatum, que per suos in infinitum ascendit gradus.
Ex quibus primus ex unitatibus, que sunt ab uno usque in decem, constat. Secundus ex
decenis, que sunt a decem usque in centum, fit. Tertius fit ex centenis que sunt a centum
usque in mille. Quartus fit ex millenis que sunt a mille usque in decem milia, et sic
sequentium graduum in infinitum, quilibet ex decuplo sui antecedentis constat. Primus
gradus in descriptione numerorum incipit a destera. Secundus vero versus sinistram sequi-
tur primum. Tertius secundum sequitur. Quartus tertium, et quintus quartum, et semper
sic versus sinistram gradus gradum sequitur. Figura itaque que in primo reperitur gradu
se ipsam representat, hoc est: si in primo gradu fuerit figura unitatis, unum representat;
si binarii, duo; si ternarij, tria, et ita per ordinem que secuntur, usque si novenarij:
novem figure quidem que in secundo gradu fuerit, tot decenas representant, quot in
primo unitates; hoc est si figura unitatis secundum occupat gradum, denotat decem;
si binarij, viginti; si ternarij, triginta; si novenarij, nonaginta.
Figura namque que in tertio fuerit gradu, tot centenas denotat, quot in secundo de-
cenas, vel in primo unitates, ut si figura unitatis centum; si binarij, ducenta; si
[p. 2]
ternarij, trecenta, et novenarij, nongenta. Ipsa igitur que fuerit in quarto gradu tot mil-
lenas quot in tertio centenas, aut in secundo decenas, vel in primo unitates denotat;
et sic semper mutando gradum, numerus decuplando ascendit. Et ut hoc quod dictum
est lucidius declarescat, ipsum cum figuris ostendatur. Si figura septenarij fuerit in primo
gradu, et ternarij in secundo, ambe insimul 37 denotant; vel econtra:: figura ternarij
in primo, et septenarij in secundo, 73 denotabunt. Item si figura quaternarij fuerit in
primo, et unitatis in secundo sic 14, nimirum XIIII denotabunt: vel si figura unitatis
fuerit in primo, et quaternarij in secundo sic 41, denotabunt XLI. Rursus in primo 72, et
in secundo faciunt 27; contrarium enim facit 72. Si autem septuaginta tantum scribere
voluerit, ponat in primo gradu 0, et post ipsum ponat figuram septenarii, sic 70; si octua-
ginta sequatur zephirum figuram octonarij sic 80: hac itaque demonstratione quemlibet
numerum a decem usque in centum cum duabus figuris scribere potes. Cum tribus
vero a centum scribitur usque in mille; ut si figura octonarii fuerit in primo, et qui-
narii in secundo, et unitatis in tertio 158, centum quinquaginta octo denotabunt; et
econverso: si figura unitatis fuerit in primo, et quinarii in secundo, et octonarii in
tertio 851, octigenta et quinquaginta unum denotabunt; vel econtra: si figura octo-
narii fuerit in primo, et unitatis in secundo, et quinarii in tertio, denotabunt 518.
Item si permutatim figura quinarii fuerit in primo, octonarii in secundo, et unitatis
in tertio, denotabunt 185. Item si figura unitatis fuerit in primo, octonarii in secundo,
et quinarii in tertio, nimirum denotabunt 581: tres vero unitates sic 111, centum unde-
cim faciunt. Verum si quinquaginta tantum scribere volueris, in primo et in secundo
gradu ponas zephyra, et in tertio figuram quinarii hoc modo 500; et sic cum duobus
zephyris quemlibet centenariorum numerum scribere poteris. Et si centenaria cum de-
cenis sive unitatibus scribere volueris, ponas in primo gradu zephyrum, in secundo de-
cenas, et in tertio centenas quas volueris. Verbi gratia: si in primo gradu fiat zephyrum,
et in secundo figura novenarii, et in tertio binarii, denotabunt 290. Si autem absque de-
cenis centenaria cum unitatibus scribere volueris, pones in secundo gradu, scilicet
in loco decenarii zephyrum, et in primo numerum unitatum quem voluerit, et in tertio
centenariorum: ut si in primo fuerit figura novenarii, et in secundo zephyrum, et in tertio
binarii 209; et sic secundum supradictam demonstrationem qualem volueris, numerus a
centum usque in mille scribes cum tribus figuris. Cum quattuor namque a mille usque
in decem milia, ut in sequenti cum figuris numeris super notatis ostenditur.
MI 1001
MMXXIII 2023
MMMXXII 3022
MMMXX 3020
MMMMMDC 5600
MMM 3000
MCXI 1111
MCCXXXIIII 1234
MMMMCCCXXI 4321
Et sic in reliquis numeris est procedendum. Cum quinque namque figuris scribuntur
omnes numeri, incipiendo a decem milia usque ad centum milia. Cum sex vero, a cen-
tum milibus usque in mille milia, et sic deinceps, addendo figuram figuris, numerus
gradatim in decuplum ascendit. Unde si contigerit quod aliquem numerum multarum
figurarum propter multitudinem figurarum, quis legere vel intelligere nequeat, quali-
ter legere et intelligere ipsum debeat, ostendere procurabo.
[p. 3]
De prima itaque figura, hoc est de figura primi gradus, dicat unum.
De secunda que est in secundo gradu, dicat decem.
De tertia que erit in tertio gradu, dicat centum, et adcentet eam in superiori parte.
De quarta namque figura eiusdem numeri, dicat mille, et adcentet eam in inferiori parte.
De quinta vero dicat decem milia.
De sexta itaque centum milia, et adcentet eam in superiori parte.
De septima dicat mille milia, et adcentet eam rursum in inferiori parte.
De octava dicat decem milia milium.
De nona dicat centum milia milium, et adcentet eam in superiori parte.
De decima dicat mille milia milium, et adcentet eam in inferiori parte; et sic sem-
per per hos tres numeros, scilicet per millenos, et decem millenos, et centum mille-
nos et adcentando millenos in inferiori parte, et centum millenos in superiori, usque
ad ultimum gradum numeri studeat adcentare. Et inde incipiat legere numerum ab
ultimo gradu ipsius per acenta predicta, dicendo semper de inferioribus adcentis tot
milia milium quot adcenta fuerint ante ipsa in inferiori parte versus primum gradum,
et de superioribus adcentis, dicens tot centum milia, quot adcenta fuerint ante ipsam
in inferiori parte similiter versus primum gradum numeri; et de figuris que non fuerint
adcentate post quartum gradum numeri dicet tot decem millenas, quot adcenta fue-
rint ante ipsas in inferiori parte; et sic poterit cognoscere et legere qualem voluerit
numerum multarum figurarum. Et ut hoc melius intelligatur, quendam numerum octo
figurarum proponamus 87654321. De uno namque qui est in primo gradu, dicet unum;
de binario 2, que sunt in secundo, dicet decem; de ternario 3, qui sunt in tertio, dicet
centum que adcententur in superiori parte. De quaternario est 4, qui sunt in quarto
gradu, dicet mille, que adcententur in inferiori parte, ut in prescripto numero ostendi-
tur. De quinario 5 qui est in quinto gradu, dicet decem milia; de senario 6 qui sunt
in sexto gradu, dicet centum milia, que adcententur in superiori parte; de septenario 7
que est in septimo gradu, dicet mille milia que adcententur in inferiori parte; de octo-
nario qui est in ultimo gradu, dicet decem milia: ergo habetur in supradicto numero
octuaginta septem milia milium, propter duo inferiora adcenta, quorum unum est sub
7 et aliud sub 4, et insuper sexcenta quinquaginta quattuor miliaria, et insuper
CCCXXI. Item proponamus alium numerum de novem figuris 257604813, que pro or-
dine adcentato cognoscitur quod continetur in ipso ducenta quinquaginta septem
milia miliaria, et sexcenta quattuor miliaria, et octingenta tredecim. Item alius numerus
de tredecim figuris proponatur 1007543289081, pro cuius adcentis cognoscitur ipsum esse
mille, septem milia milia miliaria, et quingenta quadraginta tria milia miliaria, et du-
centa octuaginta novem miliaria, et insuper octuaginta unum. Possumus enim aliam tra-
dere regulam leviam que poteris citissime legere numerum plurium figurarum. Verbi
gratia: proponamus numerum 15 figcurarum 678935784105296, dimissis tribus primis figuris,
scilicet 296, super quibuslibet aliis tribus protrahe virgulam in modum arcus ut in pre-
misso exemplo; et pro qualibet virgula dices; et illas tres figuras, quas in principio
dimisistis, leges sicut stant; et sic dices sexcenta septuaginta octo milia milia milia mi-
lium, cum quattuor sint virgule, et noningenta et triginta quinque milia milia milium,
cum super sint tantum tres virgule et septingenta octuaginta quattuor milia milium, cum
[p. 4]
due super sint linee et 105 milia, cum una tantum sit virgula, et 296 pro illis tribus
quas in principio dimisisti: et si per ultimum cum remanent una figura vel due, pone
ipsas sub ultima virgula, et leges eas omnes IIIIor vel omnes quinque simul, et sic po-
teris legere numerum quot cumque poteris figurarum.
Predictis figuris earumque gradibus secundum materiam superius descriptam cum fre-
quenti usu bene cognitis, opportet eos qui arte abbaci uti voluerint, ut subtiliores et inge-
niores appareant scire computum per figuram manuum, secundum magistrorum abbaci usum
antiquitus sapientissime inventam. Que signa sunt hec. Curvatio auricularis digiti sinistre
manus super medium vole 1 palme manus notat unum. Curvatio quidem eiusdem cum
anulari similiter super mediam volam duo, cum quibus curvatur medius tria. Cur-
vatio autem anularis et medis 4 super mediam volam. Curvatio vero medii tantum 5.
Anulari 6. Positio quippe auricularis sursum super volam 7, super quem locum cum po-
nitur auricularis et anularis notantur 8: positio quidem eorumdem cum medio super eun-
dem locum 9. Cum ab extremitate indicis et pollice fit circulus in nodo pollicis, de-
notant 10. Cum pollex et index sunt extensi et tangunt se 20. Cum ab extremitate eo-
rumdem sit circulus 30. Cum ponitur pollex super indicem in exteriori parte indicis 40.
Curvatio pollicis super principium indicis 50. Curvatio indicis super curvatum pollicem
60. Curvatio indicis super extremitatem extensi pollicis 70. Curvatio itaque indicis super
virgulam extensi pollicis 80. Item curvatio totius indicis in se 90. Centenaria quoque
et miliaria fiunt in dextera manu eodem ordine, scilicet signum unitatis facit 100 in
dextera manu; binarii quidem 200; decenarii autem mille, et signum nonagesimum facit
9000, ut in sequenti pagina picttis manibus demonstratur. Componuntur itaque in
manibus cum his signis omnes reliqui numeri qui sunt a decem usque in decem milia hoc
modo: ex signo vigenarii, et ex signo ternarii componuntur 23; et ex signo trium milium
et ex signo quingentarum componuntur in dextera manu tria milia quingenta, et sic in-
telligas in reliquis.
2. Esempi di divisioni
[p. 5]
Divisio 1346 per 4.
Item si voluerit quis dividere 1346 per 4, ponat 4 sub 6 et dividat 13 per 4, cum non
possit dividere 1, quod est in ultimo gradu numeri, exibunt 3 et remanet 1: ponat
3 sub 3 et remanens 1 ponat sub eadem 3, et copulet ipsum 1 cum 4 que antecedunt
3 in numero, erunt 14: sumat quartam de 14 que est 3 et remanent 2: ponat 3 inferius
sub 4 et remanentia 2 superius, quibus copulatis cum 6, faciunt 26; que dividat per 4,
exibunt 6 et remanent 2: ponat 6 sub 6 et remanentia 2 ponat sub virgula de 4 ex
parte servata que notant duas quartas unius integri, que equales sunt medietati unius
integri; et ante ipsas ponat numerum exeuntem ex divisione, scilicet 336; et sic ha-
bebuntur 1/2 336 pro quesita divisione. Verbi gratia: divisimus primum 13 per 4, que 13
terminantur in tertio gradu. Quare ipsa esse centenaria cognoscimus, cum tertius gra-
dus sit centenariorum. Divisis ergo tredecim centenariis per 4, veniunt centenaria tria
et remanet unum centenarium indivisibile. Quare posuimus 3 in tertio gradu, scilicet
in loco centenariorum et 1, quod fuit superfluum, posuimus super 6 et est denotans
centum; et copulavimus ipsum 1 cum 4, fecerunt 14 que terminantur in secundo gradu,
scilicet in loco decenarum. Quare denotant centenas decenas 14, quas divisimus per 4,
venerunt tres decene, et duedecene remanserunt indivisibiles: quare posuimus 3 sub 4
et 2 super 4 in loco, videlicet decenarum, et copulavimus ipsa 2 cum 6 primi gradus.
Ex quorum copulatione habuimus 26 unitates; cum ipsa copulatio terminet in primo
gradu; et divisimus ipsas 26 unitates per 4, et venerunt unitates 6, et remanserunt 2.
Quare posuimus 6 in loco unitatum, et duo posuimus super virgam de 4; et sic intel-
ligatur de reliquis similibus divisionibus.
Divisio 5439 per 5.
Item si voluerit dividere 5439 per 5, ponat 5 sub 9 et dicat 1/5 de 5 est 1, quod po-
nat sub 5 et 1/5 de 4 est 0, et remanent 4: ponat 0 sub 4, et pro remanentibus 4 co-
pulet ipsa 4 cum 3 et dicat: 1/5 de 43 sunt 8 et remanent ipsa 3: ponat 8 sub 3 et ac-
cipiat quintam de ipsis 3 copulatis cum 9, scilicet de 39, exibunt 7 et remanent 4:
ponat 7 sub 9 et 4 super virgulam de 5 ex parte servatis et ante ponat numerum
exeuntem ex divisione.
Divisio 9000 per 7.
Item si voluerit dividere 9000 per 7, ponat 7 sub primo zephyro, et dividat 9 per
7, exibit 1 et remanent 2: ponat ergo 1 sub 9 et 2 desuper, quibus copulatis cum 0,
quod est secus 9, faciunt 20 que dividat per 7, exibunt 2 et remanent 6: ponat 2
sub illo zephyro, et 6 desuper, quibus copulatis cum sequenti zephyro, faciunt 60 que
dividat per 7, exibunt 8 et remanent 4: ponat 8 sub illo zephyro 0, et desuper ponat
4, quibus copulatis cum zephyro primi gradus, faciunt 40, que dividat per 7, exibunt
5, et remanent 5: ponat 5 sub ipso 0 et remanentia 5 ponat super virgulam de 7 ex
parte descripta, et ante ipsam ponat numerum exeuntem ex divisione.
Divisio 10000 per 8.
Item si voluerit dividere 10000 per 8, ponat 8 sub 0 primi gradus et dicat: 1/8 de 10
[p. 28]
est 1 et remanent 2: ponat 1 sub 0 tertii gradus, et desuper ponat 4 et accipiat 1/8 de
40 que est 5 que ponat sub secundo gradu; et ut expleatur ordo graduum exeuntis nu-
meri, ponendum est 0 sub 0 primi gradus, ut in hac descriptione cernitur.
Divisio 120037 per 9.
Item si 120037 per 9 dividere voluerit, describat 9 sub 7 et dicat: 1/9 de 12 est 1 et
remanent 3: ponat 1 sub 2 et superius 3, et 1/9 de 30 est 3 et remanent 3: ponat 3
sub 0 quarti gradus, et desuper ponat 3; et iterum accipiat 9 de 30 quod est 3 et
remanent 3: ponat 3 sub 0 tertii gradus et 3 ponat super ipsum 0: iterum et 1/9 de 33
est 3 et remanent 6: ponat 3 sub 3 et superius 6 et 1/9 de 67 est 7 et remanent 4: ponat
7 sub 7 et remanentia 4 ponat super virgulam de 9 ex parte descripta. Et ita si secundum
prescriptum dividendi ordinem dividere sciverit in aliquibus similibus divisionibus nun-
quam poterit deviare: etiam per eundem modum omnes numeri dividi possunt per 11
et per 13: tamen oportet primum scire introductiones ipsorum ordinum aliorum suprascri-
ptorum ut in tabulis divisionum superius continentur. Nam introductio de 11 ascendit
ab uno usque in decies 11, scilicet in 110. Et introductio de 13 ascendit ab 1 usque in de-
cies 13, scilicet 130.
Divisione numerorum per 11.
Notis quidem dictis introductionibus, et voluerit quis dividere 12532 per 11, ponat 11
sub 32. Et accipiat 1/11 de 12, que sunt in capite dividendi numeri quod est 1, et
remanet 1. Ideo quia 1/11 de 11 est 1 sicut in suprascriptis tabulis ostenditur; ergo 1/11
de 12 est 1 et remanet 1. Pone itaque 1 sub 2 de ipsis 2 et remanens 1 ponat super
2, et copulet ipsum 1 cum antecedente figura, scilicet cum 5, facient 15, de quibus accipiat
1/11 que est 1 et remanet 4 dicta ratione; et ponat 7 sub 5 et remanentia 4 super 5 que
copulet cum antecedente figura, scilicet cum 3, facient 43: de quibus iterum accipiat
1/11 que est 3 et remanent 10: ideo quia 1/11 de 33 est 3, a quibus usque in 43 sunt 10: ergo
1/11 de 43 est 3 et remanent 10 ut diximus: ponat ergo 3 sub 3, et 10 ponat super 43,
hoc est ponat 1 super 4, que posita fuerunt super 5 et 0 ponet super 3, et copulet rursus
ipsa 10 cum antecedente figura, scilicet cum 2 que sunt in primo gradu, erunt 102, de
quibus iterum accipiet 1/11, erunt 9 et remanent 3: ponat 9 sub dictis 2 et remanentia
3 ponat super virgulam de 11 ex parte servata, et habebit pro quesita divisione 3/11 1139.
Divisio de
Item si voluerit dividere 123586 per 13, positis 13 sub 86, dividat 123 per 13; cum
12 minus sit de 13, exibunt 9 et remanent 6. Nam tertia decima de 117 est 9, a quibus
usque in 123 desunt 6: ponat 9 sub 3 de ipsis 123 et remanentia 6 ponat super eisdem
3 et copulabit ea cum 5, erunt 65, quorum 1/13 est 5: quare ponat 5 sub 5 et sub 8 ponat
0 cum 8 minus sint de 13, et copulabit ipsa 8 cum 6 que sunt in primo gradu, erunt 86,
quorum 1/13 cum sit 6 et remanent 8: ponet 6 in primo gradu exeuntis numeri, et 8 super
virgam de 13, et habebit pro quesita divisione 8/13 9506: per hunc etiam modum possunt
dividi numeri per 17 et per 19; tamen oportet scire introductiones ipsorum ordine aliorum
suprascriptorum numerorum. Sed cum grave videatur ipsorum introductiones cordetenus
posse retineri, qualiter per alium modum numeri dividantur per 17 et per 19, etiam et
per alios numeros duarum figurarum, in suo loco demostrabimus.
3. Esempi di problemi aritmetici.
[p. 29]
De iuvenis vita reperienda
Quidam iuvenis vixit per aliquot tempus; qui si vixisset quantum vixit, et iterum
tantum, et 1/4 1/3 ex eo quod vixerat, et amplius unum annum, 100 annos vixisset. Que-
ritur quantum vixerat. Hec enim positio similis est regule arboris, super quam si
addideris bis longitudinem eiusdem arboris, et insuper 1/4 1/3 et 1, fient 100: quod sic
faciendum est: extrahe 1 de 100, scilicet ipsum, qui superadditur annis, remanent 99:
postea pone, iuvenis vixisset annos 12; qui si vixisset tantum quantum vixit, et iterum
tantum, et 1/4 1/3 tanti, haberet annos 43. Ergo dices: pro annis 12, quos pono ut iuvenis
vixisset, veniunt in summa anni 43: quid ponam, ut veniant in summa anni 99: mul-
tiplica 12 per 99, erunt 1188; que divide per 43, exibunt anni 27/43 27; et tantum vixit
iuvenis ille. Illud idem est dividere 99 per 1/4 1/3 3.
De leone qui erat in puteo.
Quidam leo est in quodam puteo, cuius profunditas est palmis 50; et ascendit co-
tidie 1/7 unius palmi, et descendit 1/9. Queritur in quot diebus exierit de puteo. Pone,
ut exiret extra puteum in diebus 63; ideo quia in 63 invenitur et 1/9 1/7: et vide quantum
ascenderit leo ille, si descendendo in illis 63 diebus, ascendit enim septimas 63 unius
palmi, que sunt palmi 9; et descendit novenas 63, que sunt palmi 7: quos extrahe de
9, remanent palmi 2; et tot ascendit amplius quam descendat in diebus 63. Unde dices:
pro diebus 63, quos pono, ascendit palmos 2; quid ponam, ut ascendat palmos 50: mul-
tiplica 63 per 50, et divide per 2, exibunt dies 1575; et in tot diebus leo exiet de puteo.
De duobus serpentibus.
Item est serpens in plano cuiusdam turris, que est alta palmis 100; et ascendat co-
tidie 1/3 unius palmi, et descendit cotidie 1/4. In summitate vero turris est aliud serpens,
qui descendit cotidie 1/5, et ascendit 1/6: queritur in quot diebus. Infra turrim coniun-
gentur: pone ut coniungantur in diebus 60. Ideo quia in 60 reperiuntur 1/6 1/5 1/4 1/3: vide
ergo quantum se serpentes appropinquant in illis diebus 60. Inferior vero serpens
ascendit in illis diebus 60 magis quam descendit palmis 5. Superior vero descendit
magis quam ascendit palmis 2. Ergo appropinquantur palmi 7. Quare dicendum est:
pro diebus 60, quos pono, appropinquantur serpentes palmi 7 quid ponam, ut
[p. 177]
appropinquantur palmi 100: multiplica 60 per 100, erunt 6000; que divide per 7, exibunt
dies 1/7 857; et in tantum temporis coniungentur se. Nam si quesieris, in qua parte tur-
ris se coniungerint, sic facies: multiplica 5, scilicet ascensionem inferioris serpentis,
per 100, erunt 500; que divide per 7, exibunt palmi 3/7 71; et tot ascendit inferior ser-
pens. Et si descensionem superioris serpentis, scilicet 2, per eundem 100 multiplicaveris,
et summam per 7 diviseris, exibunt palmi 4/7 28 pro loco coniunctionis ipsorum a superiori
parte.
De petiis quatuor panni
Quidam emit panni petias 4 pro bizantiis 80. Quarum primam emit aliquid; alteram
emit 2/3 pretii illius prime. Tertiam vero emit 3/4 pretii secunde. Quartam autem emit
4/5 pretii tertie. Queritur quantum valuit unaqueque petia. Pone, ut prima valeret bi-
zantios 60; ideo quia in 60 reperiuntur 1/5 1/4 1/3. Ergo si prima valuit 60; secunda, cum
valeret 2/3 ipsius, valuit bizantios 40; et tertia valuit bizantios 30, hoc est 3/4 pretii se-
cunde. Quarta vero valuit bizantios 24, cum sint 4/5 de 30. Postea adde 60, et 40, et 30,
et 24, scilicet posita pretii supradictarum quattuor petiarum, erunt 154; que cum velint
esse 80, dic: pro 60, que pono pro pretio prime petie, veniunt in summa emptionis quat-
tuor petiarum bizantii 154; quid ponam, ut veniant tantum in earundem summam 80.
Multiplica 60 per 80, erunt 4800; que divide per regulam de 154, que est 1/2 0/7 0/11, exi-
bunt bizantii 6/7 1/11 31. Et tot valuit prima petia. Item ut habeas pretium secunde.
Multiplica 40 per 80, et divide iterum per 1/2 0/7 0/11, exibunt bizantii 4/7 8/11 20 pro pretio
secunde petie. Item ut scias pretium tertie, multiplica 30 per 80, et divide 1/2 0/7 0/11,
exibunt pro ipsius pretio bizantii 3/7 6/11 15: demum ut scias pretium quarte, multiplica
24 per 80, et divide in 1/2 0/7 0/11, exibunt pro pretio ipsius bizantii 1/7 5/11 15: et scias quod
in unaquaque suprascriptarum quattuor multiplicatio ei evitanda est 1/2.
Aliter de eodem.
Aliter ut redigatur hec questio ad regulam societatum, describe minuta per ordinem
sic 4/5 3/4 2/3 1, et multiplica per 3; que per 4; que per 5, que sunt sub virgis, erunt 60,
que serva. Item multiplica 2, que sunt super 3, per 4, que sunt sub 3, erunt 8; que
per 5, erunt 40, que serva. Rursus multiplca 2, que sunt super 3 per 3, que sunt
super 4, erunt 6; que per 5, erunt 30, que serva. Et adhuc multiplica 2, que sunt
super 3, per 3, que sunt super 4, erunt 6; que multiplica per 4, que sunt super 5, erunt
24: adde itaque quattuor servantes numeros insimul, scilicet 60, et 40, et 30, et 24,
erunt 154. Et invenias regulam ipsorum, que est 1/2 0/7 0/11; et multiplica singulariter unum-
quemque prescriptorum quattuor numerorum; et divide unamquamque multiplicationem
per 1/2 0/7 0/11, et habebis pretium uniuscuiusque petie, hoc est per medietatem de 154.
De tertia unius numeri ex quarta, cuius numeri sit quinta.
Si queratur de tertius unius integri, de cuius numeri quarta sit quinta pars; pone
igitur ut numerus ille sit 60; de quibus summe 1/4, que est 15; de quibus accipe 1/5,
que est 3; que cum vellent esse tantum 1/3. Multiplica 60 per 1/3, erunt 2; que divide
per 3, exibunt 2/3 6 pro numero illo.
Aliter describe per ordinem: sit 1/5 1/4 1/3; deinde multiplica unum, quod est super 3
per 4; que per 5, erunt 20; que divide per multiplicationem de 1, quod est super 5
in 1, quod est super 4; que in 3; que multiplicatio est 3, exibunt similiter 2/3 6.
[p. 178]
De ovis.
Quidam emit ova 7 pro numero uno, et vendidit ova 5 pro denario; et lucratus
fuit denarios 19: queritur quot ipse in ovis investiverat: pone ut investiret denarios
5, pro quibus habuit ova 35, que vendidit denarios 7: ergo lucratus fuit denarios 2
in illis denariis 5: qui denarii 2 vellent esse 19 denarii. Multiplica 19 per 5, et di-
vide per 2, exibunt denarii 1/2 47; et tot investivit homo ille. Nam materiam inveniendi
hanc regulam est hec. Ut discas a 5 usque in 7, desunt 2; in quibus divide multi-
plicationem de 5 in 19, ut supra diximus.
De eisdem ovis.
Item si dixerit, quod emit ova 7 pro denariis 2, et vendidit ova 19 pro denariis 6;
et lucratus est denarii 21; queritur quot investivit: scribe questionem sic; et multi-
plica 7 per 6, erunt 42, que pone super 7; et multiplica 19 per 2, erunt 38, que pone
super 19: post hec extrahe 38 de 42, remanent 4; multiplica 38 per 21, erunt 789;
que divide per 4, exibunt denarii 1/2 199; et tot investivit. Et si proponatur, quod in-
vestiret denarios 1/2 199, et queratur lucrum ipsius; multiplicabis 1/2 199 per 4, et divides
per 38; et habebis pro lucro 21.
De rotulis secundum regula ovorum.
Verum, si proposuerit, quod pro denariis 1/7 1/2 4 rotulos 13/28 11 haberet, venderet rotulos
2/9 1/5 17 pro denariis 7/10 7; et esset lucratus denarios 27: describe questionem secundum
quod in hac pagina descriptam cerneris; et multiplica Rotulos 11 per 8 de sua virgula,
et desuper adde 3, erunt 91; que per 2, et adde unum, erunt 183, que pone super
13/28 11. Item multiplica denarios 4, per 2, et adde 1, erunt 9; que per 7 de altera sua
virgula, erunt 63: super que adde multiplicationem de 1, quod est super 7 in 2, erunt
65, que pone super 1/7 1/2 4. Rursus multiplica Rotulos 17 per 5, et super adde 1; que
per 9, et adde multiplicationem de 2, que sunt super 9 in 5, erunt 784, que pone
super 2/9 1/5 17. Iterum multiplica denarios 7 per 10, et adde 7, erunt 77, que pone super
7/10 7: post hec multiplica numerum positum super 2/9 1/5 17, scilicet 784 per numerum po-
situm super 1/7 1/2 4, idest per 95, erunt 50960, que pone super 784. Item multiplica positum
numerum super 13/28 11, scilicet 183 per positum numerum super 7/10 7, idest per 77,
erunt 14091, que pone super 183: postea oportet multiplicari 50960 per minuta, que
sunt sub virgulis de 11, et de 7, scilicet per 2, et per 8, et per 10: et adhuc oportet
multiplicari 14091 per minuta, que sunt sub virgulis de 17, de 4, scilicet per 5, et per
9, et per 2, et per 7; unde multiplicentur tantum 5960 per 2, et per 8, idest per 16,
erunt 815360; et relinquantur quod non multiplicentur per 10; quia relinquemus mul-
tiplicare 14091 per 5, et per 2, in quibus ipsa multiplicare oportuerat; et multipli-
cabitur tantum per 7, et per 9, idest per 63, erunt 877733; de quibus extrahe 815360,
remanent 72373; quibus studeas reperire regulam, que est 1/7 0/7 0/7 0/211; in qua divide per
multiplicationem de 815360 in 27, scilicet in lucrum; que multiplicatio est 22014720,
exibunt denarii 0/7 0/7 6/7 2/2 8/11 3041; et tot investivit in illis Rotulis.
Aliter divide 13/28 11 per 1/7 1/2 4, exibunt 1/4 0/10 6/13 2. Item divide 21/95 17 per 7/10 7, exibunt
8/9 2/11 2; que extrahe de 1/4 0/10 6/13 2; et in hoc remanserit, divide multiplicationes de 8/9 2/11 2
in 27; et habebis propositum.
De cane et vulpe.
Item si queratur de vulpe, que est ante canem pasus 50, et pasus 9 fugientis vulpis,
[p. 179]
sunt passus 6 sequentis canis; queritur in quantum ea consequetur. Hec enim questio
eandem retinet regulam ovorum: videlicet ut extrahas 6 de 9, remanent 3; in quibus
divide multiplicationem de 6 in 50, exibunt passus 100; et in tot diebus canis fuit
cum vulpe in uno puncto. Verum si distantiam eorum ignoraveris; et preponatur, quod
canis vulpem adiungat in passibus 100; multiplicabis 3 per 100, et divides per predicta 6.
De eo qui misit filium in Alexandriam.
Quidam misit filium suum in alexandriam; deditque ei bizantios 100, precipiens, ut
emeret ex eis piper, atque berzi. Cantare quidem piperis pro bizantiis 50, et cantare
berzi pro bizantiis 30; et pondus quod ponderat piper esset 2/9 3/7 ponderis berzi. Queritur,
quot emit de pipere, et quantum de berzi. Pone ut emeret de berzi cantaria 63; ideo
quia in 63 reperiuntur 2/9 3/7; et vide quantum valent cantaria illa 63: valent enim bizantios
1890: quo facto accipe 2/9 3/7 de 63, que sunt 41; et tot cantaria pone, quod emisset ex pipere,
que valent bizantios 2050; cum quibus adde bizantios 1890, erunt bizantii 3940. Quare di-
ces: pro cantariis 63, que posui ut emeret de berzi, veniunt in summa bizantii 3940; quid
ponam ut veniat in summa bizantii 100: multiplica 63 per 100, et divide per 3940; quorum
regula est 1/2 0/10 0/197: multiplicatio autem de cantariis 63 in 100 surgit in cantariis 6300,
que sunt Rotuli 630000; quos divide per 1/2 0/10 0/197, exibunt Rotuli 177/197 159; et tot emit
ipse de berzi. Item multiplica cantaria 41 per 100, erunt Rotuli 410000; quos divide
per 1/2 0/10 0/197, exibunt Rotuli 0/2 0/10 12/197 104; et tantum emit de pipere. Si autem scire
volueris, quot bizantios valeat piper, et quot berzi; multiplica 2050 per 100, et divide
per 1/2 0/10 0/197, et habebis pro pretio piperis bizantios 6/197 52. Item multiplica 1890 per
100 et divide per 100/210197, exibunt pro pretio berzi 191/197 47.
Et si suprascriptus pater precepisset filio, ut 3/7 ex pondere piperis esset 2/9 ex pon-
dere berzi; invenies primum duos numeros, ex quibus 3/7 unius sint 2/9 alterius, erunt 14
et 27. Nam 3/7 de 14 faciunt quantum 2/9 de 27: quare pones, ut ipse emeret de pipere
cantaria 14, et de berzi cantaria 27; et operaberis secundum quod superius fecimus;
et invenies quantitates utriusque mercis.
Item 1/4 1/3 ex pondere piperis sit 1/5 1/4 ex pondere berzi, invenies quod duos numeros,
ex quibus 1/4 1/3 unius sint 1/5 1/4 alterius, erunt 27, et 35. Nam 1/4 1/3 de 27 sunt 1/4 et 1/5 de
35: quare pones, ut ipse emeret de pipere cantaria 27, de berzi cantaria 35; et opera-
beris secundum suprascriptum modum.
Rursus si proponatur, quod ipse emisset ex suprascriptis bizantiis 100 piper ad ra-
tionem de bizantiis 50; et lac ad rationem de bizantiis 40; et de berzi ad rationem
de bizantiis 30; et linum ad rationem de bizantiis 20. Et 2/3 ex pondere piperis esset
4/5 ex pondere lacce. Et 6/7 ex pondere berzi, et 8/9 ex pondere lini. Inveniendi sunt
primum quattuor numeri, ex quibus 2/3 primi numeri sint 4/5 secundi, et 6/7 tertii, et 8/9
quarti; et habebis pro primo numero 36; pro secundo 30; pro tertio 28; pro quarto
27: quare pones, ut ipse emeret ex pipere cantaria 36, que valeret bizantios 1800. Et
de lacca cantaria 30, que valent bizantios 1200; et de berzi cantaria 28, que valent
bizantios 840; et de lino cantaria 27, que valent bizantios 540: quibus bizantiis quat-
tuor mertium in unum coniunctis, faciunt bizantios 4380, que vellent esse bizantios 100:
quare singulariter cantaria 36 piperis, scilicet Rotuli 3600. Et cantaria 30 lacca, scilicet
Rotuli 3000. Et cantaria 28 berzi, scilicet Rotuli 2800; et cantaria 27 lini, scilicet Ro-
[p. 180]
tulos 2700 multiplicabis per bizantios 100, et divides summam uniuscuiusque multipli-
cationis per regulam de 4380, que est 1/6 0/10 0/73; et habebis pro pondere piperis Rotulos
14/73 82; et pro pondere lacce Rotulos 36/73 68; et pro pondere berzi Rotulos 467/673 63; et pro
pondere lini Rotulos 47/73 61; et sic possemus huiusmodi varias proponere questiones,
que solventur suprascripto ordine.
De divisione de 10 in tribus partibus inequales
secundum continuam proportionem.
Si opponatur ut divides 10 in tres inequales partes, quarum multiplicata minorem
in maiorem, faciat quantum secunda multiplicata in se ipsam; sic facies: pone ut prima
pars sit aliquis, numerus, ut 1; deinde pone, ut secunda pars sit alius quislibet nu-
merus, ut dicamus 2; que multiplica in se, faciunt 4; que divide per 1, venient 4.
Modo habes tres numeros, scilicet 1, et 2, et 4; ex quibus multiplicatis primo per
tertium, scilicet 1 per 4, facit tantum quantum secundus in se ipsum, scilicet 2 per 2.
Unde colligas 1, et 2, et 4, faciunt 7; que cum vellent esse 10, dices: pro 1, quod
pono pro prima illarum trium partium, pervenit 7 in earum summa: quid ponam pro
eadem, ut perveniat in summam 10. Multiplicabis itaque 1 per 10; que divides per 7,
exibit pro quantitate prime partis 3/7 1. Item multiplicabis eademque ratione secundam
partem, scilicet 2 per 10, erunt 20: que divides iterum per 7, exibunt 6/7 2; et tantum
est secunda pars. Rursum multiplicabis 4, que sunt tertia pars, per 10, erunt 40; que
divides per 7, exibunt pro tertia parte 5/7 5. Multiplicatio igitur de 3/7 1 in 5/7 5, est
quantum. Multiplicatio de 6/7 2 in se; et 3/7 1, et 6/7 2, et 5/7 5 insimul iunctis, faciunt 10,
ut querebatur. Potest enim 10, secundum prescriptam conditionem, in infinitas tres
et variis partes dividere: quare si alios in principio in continua proportione poneremus
numeros preter quod 1, et 2, et 4 in alias partes 10, redderent divisa; quarum semper
prima multiplicata in tertiam, faciet quantum secunda multiplicata in se.
De eodem in IIIIor partes.
Item si 10 in quattuor partes dividere volueris, ita quod multiplicata prima in quar-
tam faciat quantum secunda in tertiam. Et rursum multiplicata prima in tertiam faciat
quantum secunda in se ipsam. Et iterum multiplicata secunda in quartam faciat quan-
tum tertia in se ipsam. Hanc enim divisionem in infinitas variasque partes possumus in-
venire. Quare unam demonstrationem pro multis ostendamus: ponas ut prima pars sit
unum. Secunda bis tantum, scilicet 2. Tertia bis tantum secunde, scilicet 4. Quarta bis
tantum tertie, scilicet 8: Hii quattuor numeri sunt in continua proportione. Unde coa-
dunatis his quatuor partibus, scilicet 1, et 2, et 4, et 8, faciunt 15, que vellent esse
10. Unde dices: pro 1, quod pono prima parte, perveniunt 15 in summa eorum quattuor
partium; quid ponam pro eadem parte, ut veniant in 10 in earum summa. Multiplicabis
enim unum per 10, et divides per 15, exibunt 2/3 unius integri pro prima parte. Item multi-
plicabis singulariter 2, et 4, et 8 per 10; et singulariter divides per 15, et habebis pro se-
cunda parte 1/2 1; pro tertia 2/3 2, et pro quarta 1/3 5: vel habita prima parte, duplicabis eam,
et habebis secundam; qua duplicata, habebis tertiam; qua duplicata, habebis quartam.
Vel quia 10 sunt 2/3 de 15, accipe 2/3 prescriptorum quattuor numerorum, et habebis quesitas.
De eodem in quinque.
Rursum si 10 in plures partes quam quattuor, ut in 5, secundum continuam proportio-
[p. 181]
nalitatem, dividere volueris; hoc est, quod multiplicata prima in quinta, faciat quantum
secunda in quartam, et quantum tertia in se ipsam. Et iterum prime in quartam faciat
quantum secunda in tertiam. Et iterum prima in tertiam, quantum secunda in se ipsam.
Et iterum secunda in quintam, quantum tertia in quartam. Et adhuc tertia in quintam,
quantum quarta in se ipsam. Pones itaque secundum quod superius fecisti pro prima
parte 1; pro secunda 2; pro tertia 4; pro quarta 8; pro quinta 16: adde ergo 1, et 2, et
4, et 8, et 16, erunt 31; que cum velint esse 10. Multiplicabis1 per 10, et divides per
31, exibunt 10/31 pro quantitate prime partis: deinde multiplicabis 2 per 10, et divides per
31, exibunt 20/31 pro secunda parte; et sic facies de reliquis tribus partibus pro tertia 40/31,
hoc est 9/31 1. Et pro quarta 80/31, hoc est 18/31 2; et pro quinta 160/31, hoc est 5/31 5; quibus
insimul iunctis, faciunt 10, ut querebatur.
De Leone et leopardo et urso.
Quidam leo comedabat unam ovem in horis IIIIor; et leopardus in horis 5. Et ursus in
horis 6: queritur, si inter eos ovis una eiecta fuerit, in quantis horis eam devoraverunt.
Sic facies: pro quattuor horis, in quibus leo ovem comedit. Pone 1/4; et pro horis 5 leopardi
pone 1/5; et pro horis 6 ursi, pone 1/6: et quia 1/6 1/5 1/4 reperiuntur in 60. Pone ut in horis 60
ipsi devorarent ovem illam. Considera itaque, quot oves leo comederet il illis horis 60:
cum in quattuor oris unam devoret ovem, est manifestum, quod ipse devoraret oves 15
in illis 60 horis; et leopardus devoraret oves 12 per quintum de 60, que est 12. Similiter
et ursus devoraret oves 10; cum 10 sint 1/6 de 60. Ergo in horis 60 comederent ipsi
oves 15, et 12, et 10, hoc est 37. Quare dices: pro horis 60, quas pono, comedunt ipsi oves
37. Quid ponam ut tantum comedent ovem unam. Multiplica itaque unum per 60, et di-
vide 37, exibit hora 23/37 1. Et in tot ipsi ipsam ovem devoraverunt.
De duabus formicis quarum una imittatur aliam.
Formice 2 distabant in plano passibus 100; et tendebant ad unum locum: prima
quarum ibat cotidie 1/3 passus, revertebat retro 1/4; alia ibat 1/5, et revertebatur 1/6: queritur,
in quot diebus erunt coniuncte: pone dies 60, in quibus prima iret tertiis 60 unius
passus, scilicet passibus 20; et reverteretur retro passibus 15, scilicet 1/4 de 60; et sic in
diebus 60 iret plus de sua reversione passibus 5; et aliam eisdem diebus 60 iret 1/5 de
60, scilicet 12; et reverteretur retro 1/6, scilicet passibus 10; et sic iret passibus 2 magis
de sua reversione: quibus extractis de passibus 5, remanent passus 3; et tot appropin-
quantur ipse in dies 60: que cum velint esse 100. Multiplicabis 1/3 de 60 per 100; et habebis
dies 2000 pro eorum coniunctione.
De duabus navibus se se invicem coniungentibus.
Naves due distabant ad invicem per aliquod spatium; quod iter prima navis explebat
in diebus 5; alia in diebus 7: queritur si ceperint iter in eadem hora, in quot diebus erunt
coniuncte. Multiplica 5 per 7, erunt 35; et tot dies pone, in quibus prima navis faciet iter
suum septies. Alia vero quinquies: quare adde 7 cum 5, erunt 12; et quia inter utramque
navem debebant facere tantum semel illud iter. Multiplica 1 per 35, et divide per 12,
exibunt 11/12 2; et in tot diebus erunt coniuncte: et si vis scire, in qua parte; divide 7,
et 5 per 12, venient 7/12 totius itineris ex parte prime navis, et 5/12 ex parte secunde.
Et si proponeretur primam navem ire septies ad locum alterius navis, et aliam redire
quinquies in una die, divide semel 1 per 12, exibit hora una pro earum coniunctione;
que coniunctio erit in parte predicta.
[p. 182]
De tina que habet quatuor foramina in fundo.
Est tina, que habet quattuor foramina, per primum quorum evacuatur in die 1; per
secundum in 2; per tertium in 3; per quartum in 4; queritur quot horis evacuabitur,
si dicta quattuor foramina simul aperiantur: pone dies 12 pro ipsius evacuatione. In
quibus per primum foramen tina evacuaretur duodecies; cum dies 12 sint duodecuplum
unius diei: similiter in illis positis 12 diebus per secundum foramen evacuaretur tina
septies; per tertium quater; per quartum ter; et sic in diebus 12 tina evacuaretur
vigies quinquies; hoc est, quod in diebus 12 evacuantur tine 25: et queritur, in quot
evacuabitur tina 1. Multiplica ergo extremos, scilicet 12 per 1, et divide per medium,
exibunt 12/25 unius diei: de quibus si vis horas facere, Multiplica 12, que sunt super
virgam, per horas unius diei, scilicet per 12, erunt 144; que divide per 25, exibunt
hore 43/55 5 pro tine evacuatione.
De eadem tina cum super ipsam sint canales IIIIor.
Et si proponatur, quod super ipsa tina erunt canales 4 evacuantes aquam; per pri-
mum quorum tina impleatur in horis 6; per secundum in 9; per tertium in 24; per
quartum in 27; queritur si tina fuerit vacua, et per ipsas canales simul fluat aqua
vicina, et foramina sint aperta; in quot horis implebitur tina: pone etiam, ut impleatur
in dies 12, in quibus per ipsa foramina evacuantur tine 25: deinde fac horas ex ipsis
diebus 12, erunt hore 144; quas divide per horas primi canalis, scilicet per 6, exibunt
24; et tot tine implentur per primum canalem: quia quam multiplices sunt hore 144
ex horis 6, tam multiplices sunt tine 24 ex tina 1: quare eadem ratione divides horas 144
per horas reliquorum canalium, scilicet 9, et per 24, et per 27, exibunt tine 16, et 6, et
1/3 5: quibus additis cum tinis 24 primi canalis tine 1/3 51; et tot tine implentur ab ipsis
canalibus 4 in positis diebus 12: a quibus eiectis tinis 25, que evacuantur per fora-
mina, remanent tine 1/3 26, que vellent esse tina 1. Quare multiplica horas 12 diei, sci-
licet 144 per 1; et divide per secundum numerum, scilicet per 1/3 26, exibunt hore 37/79 5;
et in tot implebitur tina illa.
De bute que habet IIIIor foramina unum super aliud.
Item buctis habens 4 foramina unum super aliud in quarto retenimento buctis con-
stituta; ex quibus si aperiens primum foramen .1. superius , evacuatur quarta pars
buctis in 1 die; qua evacuata, si aperieris secundum, evacuabitur buctis a primo usque
ad secundum, scilicet alia quarta pars in duobus diebus. Rursum, evacuatis duabus
quartis, si aperieris tertium, evacuatur de bucte alia quarta pars a secundo foramine
usque ad se in tribus diebus. Iterum si aperieris quartum evacuatur de bucte alia
quarta pars in diebus 4. Queritur si omnia quattuor foramina pariter aperta fuerint,
in quantum tota buctis evacuabitur. Quia evacuato aliquo ipsorum nullum iuvamen
aliis prebere posse preponitur. Necessarium est ut evacuationem uniuscuiusque fora-
minis singulariter reperiamus. Primum quidem ponamus, quod buctis teneat bariles quot-
libet, ut dicamus 48. Quarum quarta pars accepta, que est 12, habeatur pro tenimento
uniuscuiusque foraminis: deinde accedamus ad evacuationem primi, id est superioris
foraminis: ponamus, ut inter omnia 4 illa foramina evacuetur de bucte usque ad su-
perius foramen in una die, scilicet in horis 12: deinde videamus quot bariles in illis
12 horis per unumquodque foramen evacuarentur: per primum quidem evacuarentur
[p. 183]
bariles 12 in illis horis 12. Ideo quia preponitur in positione, quod per ipsum evacuatur
quarta pars titius buctis in una die. Et quia per secundum alia quarta pars in duobus
diebus evacuatur. Ergo in illis 12 horis evacuarentur per ipsum bariles 6: eademque
rationem per tertium foramen evacuabitur bariles 4 in illis 12 horis. Et per quartum
evacuarentur bariles 3. Iunctis itaque barilibus 12, et 6, et 4, et 3 faciunt 25; et tot
bariles evacuarentur per ipsa quattuor foramina in illis 12 horis. Quare multiplica 12
per 12, faciunt 144; que divide per 25, exibunt hore 4/5 3/5 5; et in tot horis evacuabi-
tur buctis usque ad superius foramen: deinde accedamus ad evacuationem secunde,
quarte: et pone iterum, ut evacuetur ipsa similiter in aliis 12 horis. In quibus, ut
prediximus, per secundum evacuantur bariles 6; per tertium quoque bariles 4; per
quartum vero bariles 3. Quare per ipsa tria foramina evacuantur bariles 13; pro quibus
multiplicabis 12 per 12, et divide per 13, exibunt hore 1/13 11 pro evacuatione eiusdem
secunde partis: deinde pone, ut tertia quarta evacuetur iterum in horis 12, in quibus
per tertium foramen evacuantur bariles 4; per quartum 3, hoc est per utrumque eva-
cuantur bariles 7. Quare multiplica 12 iterum per 12, et divides per 7, exibunt hore
4/7 20 pro evacuatione tertie quarte; per quartum vero foramen evacuatur reliqua quarta
in quattuor diebus. Quare adde dies 4, et horas 4/5 3/5 5, et horas 1/13 11, nec non et horas
4/7 20, erunt dies 7, et horas 4/5 0/5 2/7 5/13 1; et in tantum evacuabitur buctis illa.
Aliter de bute.
Et si dixeris, quod per unum quodque foramen tota buctis evacuetur usque ad se
ipsam in prepositis diebus; pone similiter, ut buctis teneat bariles 48: deinde vide in
quantum evacuabitur buctis usque ad primum foramen. Apertis videlicet omnibus fo-
raminibus. Pone ergo ut evacuetur in horis 12, in quibus per primum evacuantur ba-
riles 12: per secundum vero totidem evacuantur; cum in duobus diebus bariles 24 eva-
cuentur in horis 12: per tertium quoque in positis horis 12 evacuarentur alios bariles 12;
cum in tribus diebus per ipsam evacuarentur bariles 36: per quartum autem in illis
12 horis alios bariles 12 evacuantur: quibus iunctis cum barilibus evacuationum trium
reliquorum foraminum, erunt 48, que vellent esse 12. Ergo multiplica 12 per 12, et di-
vide per 48, exibunt hore 3; et in tot evacuatur usque ad primum foramen. Item si
posueris pro evacuatione secunde quarte alias horas 12, reperies quod per reliqua tria
foramina evacuabuntur bariles 36: quare multiplicabis 12 per 12, et divides per 36,
exibunt hore 4; et in tantum evacuabitur secunda quarta. Item si posueris horas 12 pro
evacuatione tertii quarte, quod reperies utrumque foramen evacuarentur bariles 24. Quare
multiplica 12 per 12, et divide per 24, exibunt hore 6 pro tertie quarte evacuatione.
De quarto foramine nil dicendum est; cum manifestum sit, quod per ipsum in horis 12
evacuetur totum residuum, scilicet bariles 12. Quare addas horas evacuationum quattuor
dictorum quartarum, scilicet 3, et 4, et 6, et 12, erunt hore 25; et in tantum evacua-
bitur buctis illa.
Aliter de bute.
Et si proponatur, quod a summo buctis usque ad superius foramen sit 1/3 totius te-
nimenti buctis: ab ipso foramine usque ad secundum, sit 1/4 eiusdem tenimenti. Et ab
ipso usque ad tertium sit 1/5. Ab ipso usque ad inferius foramen sit residuum teni-
menti buctis; et per superius foramen evacuetur buctis usque ad ipsum in 1 die. Per
[p. 184]
secundum ab ipso superiori usque ad ipsum secundum in 2. Per tertium a secundo
usque ad ipsum tertium in 3. Per inferius evacuetur buctis a tertio usque ad ipsum
in dies 4. Pone, ut buctis teneat bariles 60; quare usque ad superius foramen sunt ba-
riles 20, scilicet tertium de 60. Et a secundo foramine usque ad superius sunt bariles
15, scilicet quartam de 60. Et a tertio usque ad secundum sunt bariles 12, scilicet
quintam de 20. Quibus barilibus 12 et 15, et 20 in unum coniunctis, reddunt bariles
47 pro tenimento buctis usque ad tertium foramen: a quibus 47 usque in 60 sunt ba-
riles 13 ab inferiori foramine usque ad tertium: deinde pone diem 1 in evacuatione
buctis usque ad superius foramen, in quo posito die per primum foramen evacuantur
bariles 20; per secundum 1/2 7, scilicet 1/2 de 15; per tertium 4, scilicet tertia de 12; per
quartum 1/4 3, scilicet quartam de 13: ergo per quattuor foramina evacuantur in 1 die
bariles 20, et 1/2 7, et 4, et 1/4 3, hoc est in summa bariles 3/4 34, que vellent esse 20,
scilicet tenimentum superioris foraminis: quare multiplicabis diem 1 per bariles 20, et
divides per 3/4 34, exibunt 80/139 unius diei pro evacuatione superius foraminis. Item pone
unum diem in evacuatione barilium 15 secundi foraminis, in quo per secundum eva-
cuantur, ut prediximus, bariles 1/2 7; per tertium 4; per inferius 1/4 3, hoc est in summa
3/4 14, que vellent esse 15: quare multiplicabis 1 per 15, et divides per 3/4 14, exibit
dies 1/59 1 pro evacuatione barilium 15. Rursum pone unum diem in evacuatione barilium
12 tertii foraminis, in quo die per ipsum foramen evacuantur bariles 4; per inferius 1/4 3,
hoc est per utrumque 1/4 7, qui vellent esse 12: quare multiplica 1 per 12, et divide
per 1/4 7, exibit dies 19/29 1 pro evacuatione tertii foraminis. Per inferius vero foramen
evacuatur residuum in dies 4, ut propositum est. Quare addes dies 4, et 19/29 1, et 1/59 1,
et 80/139, et habebis dies 7, et horas 24/29 5/59 135/139 2 pro evacuatione totius buctis.
Modus alius de bucte.
Et si per unumquodque foramen usque ad ipsum, totam buctem evacuare propo-
natur in prepositis diebus, pones similiter, ut buctis teneat bariles 60: quare per primum
evacuantur bariles 20 in uno die. Per secundum 20 et 15, scilicet 35 in duobus diebus.
Per tertium 20, et 15, et 12, scilicet 47 in diebus 3. Per inferius evacuantur bariles 60, scilicet tota buctis in diebus
4. Quare pones in evacuatione barilium 20 superioris fo-
raminis diem 1. In quo per primum evacuantur bariles 20; per secundum 1/2 17, scilicet
dimidium de 35; Per tertium 2/3 15, scilicet 1/3 de 47. Per inferius 15, scilicet quartam
de 60; et sic sunt in summa bariles 1/6 68, qui vellent esse 20: quare multiplica 1 per 20,
et divide per 1/6 68, exibunt 120/409 unius diei. Item pro evacuatione barilium 15 secundi fo-
raminis pone diem 1, in quo per secundum evacuantur bariles 1/2 17; per tertium 2/3 15;
per quartum 15, hoc est in summa bariles 1/6 48, qui vellent esse 15: quare multipli-
cabis 1 per 15, et divide per 1/6 48, exibunt 90/289 unius diei. Rursum pro evacuatione ba-
rilium 12 tertii foraminis pone 1 diem, in quo per ipsum evacuantur bariles 2/3 15; per
ultimum 15, hoc est per utrumque 2/3 30, qui vellent esse 12: quare multiplica 1 per
12, et divide per 2/3 30, exibunt 9/23 unius diei. Item pone in evacuatione bariles 13
inferioris foraminis diem 1, in quo evacuantur bariles 15, qui vellent esse 13: quare
multiplica 1 per 13, et divide per 15, exibunt 13/15 unius diei; quibus iunctis cum 9/23,
et cum 120/409, reddunt pro summa diem 1, et horas 1/5 13/17 16/17 12/23 144/409 10 pro evacuatione to-
tius buctis.
[p. 185]
Item est buctis habens inferius foramina 10, que per primum evacuatur in 1 die;
per secundum in 1/2 unius diei. Per tertium in 1/3, per quartum in 1/4, et sic deinceps
per ordinem, usque quod per decimum foramen evacuatur buctis in 1/10 unius diei. Que-
ritur: si foramina insimul aperta fuerint, in quanta diei parte buctis tota erit evacuata.
Pone, ut buctis evacuetur in una die, in quo per primum foramen evacuatur buctis
semel; per secundum bis, cum in dimidio diei evacuetur ipsa: quare per tertium eva-
cuatur ter; per quartum quater; per quintum quinquies, hoc est buctes 5; per sextum
evacuantur buctes 6; per septimum 7; per octavum 8; per nonum 9; per decimum 10:
ergo in die 1 per omnia foramina evacuantur tot buctes, quot sunt in collectione nu-
merorum, qui sunt ab 1 usque in 10, scilicet 55: quare dices: pro die 1, qui pono,
evacuantur buctes 55; quid ponam, ut evacuetur buctis 1: multiplica 1 per 1, et di-
vide per 55, exibit 1/55 unius diei pro evacuatione totius buctis.
De quatuor hominibus navem locantibus.
Quattuor homines naulegiaverunt navem ad honerandum de frumento; et unusquis-
que eorum quartam honeravit: et primus erat daturus domino navis pro naulo 1/3 sui
frumenti; secundus 1/4; tertius 1/5; Quartus 1/6; a quibus habuit dominus navis pro eorum
naulo modia 1000: quare quantitas totius carici navis: pone ut caricum 4te partis totius
navis, scilicet portio uniuscuiusque, sit modia 60; quare caricum totius navis erit
modia 240. Et quia primus dedit 1/3 sui carici; et secundus 1/4; tertius 1/5; quartus 1/6,
accipe 1/6 1/5 1/4 1/3 de 60, erunt modia 57, que vellent esse 1000. Quare dices: pro modiis
240, que pono in carico totius navis, veniunt Nauclerio modia 57; quid ponam, ut ve-
niant ei modia 1000: multiplica 240 per 1000, et divide per 57, exibunt modia 10/19 4210
pro carico totius navis.
De eodem.
Et si proponatur, quod dato naulo domino navis, remansisset ei modia 1000. Extrahes
57 de 240, remanent ei modia 183, que vellent esse 1000: quare multiplica 240 per 1000,
et divide per 183, exibunt modia 29/61 1311 pro carico totius navis.
De homine retento in obsequio.
Quidam retinuit quendam hominem in obsequium. Cui erat daturus in mense nu-
meros tres, quorum secundus erat denariis 2 maior primo; et tertius denariis 2 maior
secundo, hoc est denariis 4 maior primo. Et insuper erat ei daturus denarios 10. Con-
tingit autem, quod ipse laboravit dies 6, pro quibus dominus operis dedit ei medietatem
primi numeri. Et tertiam secundi. Et quartam tertii numeri; et fuit persolutus secundum
quod ei contigit pro hoc, quod laboraverat. Queritur qui fuerunt numeri illi. Quia
dies 6, in quibus laboravit, sunt quinta mensis; scilicet ex diebus 30 debuit ipse pro
suo labore recipere 1/5 omnium trium numerorum dictorum; et de denariis 10, pro qua
1/5 dedit eius dominus medietatem primi numeri. Et tertiam secundi. Et quartam tertii. Et
manifestum est, quod si de secundo numero extrahantur 2, et de tertio 4, uterque eo-
rum erunt equales primo numero. Unde extractis 2 de secundo, et 4 de tertio; si
acceperimus medietatem primi, et tertiam secundi, et quartam tertii; ideo accepimus
1/4 1/3 1/2 tantum de primo numero: ergo ut accipiamus 1/3 de denariis 2, in quibus se-
cundus excedit primum; et 1/4 de 4, in quibus tertius excedit primum, erunt 2/3 1: ergo
dedit ei dominus 1/4 1/3 1/2 primi numeri, et insuper denarium 2/3 1; et fuit tamquam si
[p. 186]
dedisset ei 1/5 omnium trium numerorum, et de 10: nam extractis iterum 2 de secundo
numero, et 4 de tertio; et accepto 1/5 primi numeri, et secundi, et tertii; tantum est
quantum si acceperimus tantum 3/5 de primi numeri: deinde remanet, ut accipiatur 1/5
de denariis 2 prescriptis, qui extracti fuerunt de secundo numero; et de 4, qui extracti
fuerunt de tertio; et de 10, hoc est de 16, erunt 1/5 3: ergo operarius erat recepturus
3/5 primi numeri, et insuper denarios 1/5 3; pro quibus recepit 1/4 1/3 1/2 eiusdem primi nu-
meri, et insuper denarium 2/3 1: quare extrahas 2/3 1 de 1/5 3, remanent 8/15 1: ergo 1/4 1/3 1/2
ipsius numeri primi sunt plus 8/15 1 de 3/5 eiusdem numeri. Unde inveniendum est nu-
merus, cuius 3/5 extractis de 1/4 1/3 1/2 eiusdem numeri, remaneat 8/15 1. Pone, ut numerus
ille sit 60, cuius 3/5 acceptis, que sunt 36; et extractis de 1/4 1/3 1/2 de 60, scilicet de 65, re-
manent 29, que vellent esse 8/15 1: multiplicabis itaque 60 per 8/15 1, erunt 92; que di-
vide per 29, exibunt 5/29 3 pro quantitate primi numeri: quibus additis 2, habebis 5/29 5
pro secundo numero; quibus iterum additis 2, habebis 5/29 7 pro tertio numero.
De numero cui super additur 1/4 1/3 et 12, et a quo extrahitur 1/6 2/5 et 12,
et nil remanet.
Est numerus, super quem si addideris 1/4 1/3 et 12; et de collecta quantitate abstuleris
1/6 2/5 et 12, nichil remanebit. Queritur quid sit numerus ille: primum querendum est,
quis sit numerus, de quo si extraxeris 1/6 2/5 et 12, nichil remaneat. Pro quo pone 30, de
quibus extrahe 1/6 2/5, scilicet 17, remanent 13. Que cum velint esse 12; Multiplica 12
per 30, erunt 360; que divide per 13, exibunt 9/13 27: pro quibus iterum dices: est nu-
merus, super quem si addideris 1/4 1/3 et 12, facient 9/13 27: quare extrahe 12 de 9/13 27, re-
manebunt 9/13 15: deinde pone, ut ipse numerus sit 12, super quem adde 1/4 1/3 ipsius,
erunt 19; que cum vellent esse 9/13 15, Multiplicabis itaque 12 per 9/13 15, et divides per
19, exibunt 4/13 17/19 9; et tot erit numerus ille. Verbi gratia: Accipe 1/4 1/3 de 4/13 17/19 9;
quas sic accipere eas demonstramus: videlicet ut multiplices 9 per 19, et adde 17; que
per 13, et adde 4, erunt 2448; super que adde 1/4 1/3 ipsorum, que sunt 1428, erunt 3876;
que divide per 1/19 0/13. Et ideo primus per 19, quam per 13; quia 3876 integraliter di-
vidantur per 19, exibunt 9/13 15; super que adde 12, erunt 9/13 27; de quibus extrahe
1/6 2/5, que sunt 9/13 15, remanent 12; que non abieceris, nichil remanebit, ut prepositum est.
De numero cui super additur 1/9 3/7 et 60.
Item est numerus, super quem si addideris 1/9 3/7, et denarios 60; et de collecta summa
extraxeris 1/8 1/5 1/3, et denarios 60, nichil remanebit: invenies numerum, de quo extracta
1/8 1/5 1/3, remaneant 60: erit numerus ille 25/41 175; de quibus extrahe 60, remanent 25/41 115;
pro quibus inveniendus est numerus, super quem si addatur 1/9 3/7, faciant 25/41 115, quem
sic invenies. Pone igitur, ut ipse sit 63; de quibus accipe 3/7, que sunt 27. Et 1/9, que est
7, erunt 34; que adde cum 63, erunt 97, que vellent esse 25/41 115. Unde multiplicanda
sunt 63 per 25/41 115, et dividenda per 97, exibunt 17/41 8/97 75 pro quesiti numeri quantitate.
Item alia cum similis.
Item est numerus, super quem si addideris 4/9 3/7 2/5 ipsius numeri, et insuper alios
duos numeros equales quoscumque volueris, et 1/5 1/3 unius ipsorum numerorum; et de
collecta quantitate extraxeris 3/11 2/9 2/7, et tres numeros tales, quales fuerint ipsi duo,
quos primum iunxeris, et 1/9 1/5 unius ipsorum numerorum, nichil remanebit: primum qui-
dem inveniendi sunt, qui sunt numeri illi, qui debent addi in principio, et extrahi in
[p. 187]
fine; quos sic invenies: videbis quis sit numerus, in quo reperiantur 1/5 1/3, et 1/9 1/5: qui
numerus est 45; et tot pone pro numero illo. Et quia proponitur in finem, quod extra-
ctis tribus numeris illis, et 1/9 1/5 unius illorum, multiplicabis 45 per 3, erunt 135; super
que adde 1/9 1/5 de 45, scilicet 14, erunt 149: deinde invenias per regulam secundi arboris,
quis sit numerus, de quo extractis 3/11 2/9 2/7, remanent 149: que si secundum considera-
tionem ipsius arboris regulam invenire sciveris, ipsum esse 16/819 679 invenies: de quibus
extrahe duplum de 45, et insuper 1/5 1/3 de 45, hoc est 114, remanebunt 16/819 565: pro quibus
vide per regulam tertie arboris, qualis est numerus, super quem si addideris 4/9 3/7 2/5;
et fiant 16/819 165; eritque numerus ille 3/4 4/8 2/19 27/179 248: et sic omnes regulas huiusmodi
operaberis.
Questio proposita a quodam constantinopolitano magistro 1/9 1/3.
Summe 1/9 1/3 unius numeri, et inde extrahe 1/9 1/3; et quod remanet divide in duas tales
partes, ut multiplices unam partem per 1/7 1/2, et aliam per 4/9 1/2, et fiant equales. Sic
facies: pone numerum talem, quod de 1/9 1/3 ipsius possis 1/9 1/3 integraliter extrahere; eritque
numerus ille 81: de quo accipe 1/9 1/3, scilicet 36; et extrahe inde 1/9 1/3, scilicet 16, rema-
nebunt 20; que oportet dividere in duas tales partes, quod multiplicata una illarum
per 4/9 1/2, faciat tantum, quantum multiplicata alia per 1/7 1/2. Quare ut in hac positione
regulam arborum immitetur, pone quod una partium sit 18; que multiplica per 4/9 1/2,
faciunt 17: deinde videas per regulam primi arboris qualis est numerus, de quo 17 sit
1/7 1/2; eritque numerus ille 4/9 26; que adde cum 18, erunt 4/9 44, qui numerus vellet esse
20. Multiplicabis igitur 18 per 20, et divides per 4/9 44, exibunt 1/10 8 pro quantitate unius
partis; a quibus usque in 20 desunt 9/10 11, que sunt alia pars.
De cuppa cuius fundus est tertia pars totius cuppe Cupercruum est quarta.
Quendam cuppa est, de qua fundus ponderat tertiam totius cuppe; cuperclium vero
ponderat quartum; residuum vero ponderat libras 15: queritur pondus totius cuppe:
que positio similis est arboris, de quo 1/4 1/3 latet sub terra; et super terram est palmi
15. Verbi gratia: cum fundus cuppe sit 1/3; et cuperclium sit 1/4 totius cuppe. Ergo inter
fundum, et cuperclium sunt 1/4 1/3 totius cuppe. Et hoc quod remanet ponderat libre 15.
Quare cum de quantitate totius cuppe queratur; ponendum est, secundum eiusdem
arboris regulam, ut ipsa ponderat aliquem numerum talem, videlicet ut in ipso repe-
riantur minuta positionis, scilicet 1/4 1/3; qui numerus erit 12. Quare pone, ut cuppa ponderat
libre 12; qua ratione, fundus cum sit tertiam, cuppa ponderat libre 4; et cuperclium, cum
sit 1/4, ponderat libre 3. Ergo inter fundum, et cuperclium ponderat libre 7: a quibus usque
in 12 de sunt libre 5 pro quantitate residui cuppe, que vellent esse libre 15: que cum
non sint. Multiplicabis 12 per 15, et divides per 5; et sic perveniunt 36 pro pondere
totius cuppe.
Aliter de cuppa.
Nam si dixeris, quod fundus ponderet 1/3 tantum medii et cuperclii. Et coperclium
ponderet quantum medii, et fundi; medium vero ponderet 15: quam positionem, si ad re-
gulam eiusdem arboris redigere volueris, sic facies: cum fundus ponderet 1/3 medii, et co-
perclii. Et si inter coperclium, et medium ponderat 3, fundus ponderat 1; ergo fundus
est 1/4 totius cuppe. Eademque ratione cum coperclium est 1/4 medii, et fundi; si inter me-
dium, et fundum ponderant 4, coperclium ponderat 1: ergo coperclium est 1/5 totius
[p. 188]
cuppe; et ita inter fundum et coperclium sunt 1/5 1/4 totius cuppe: quare inveniendus
est numerus, de quo reperiatur 1/5 1/4, eritque 20, qui exiit ex multiplicatione de 4 in
5: de quibus extrahes 1/5 1/4, scilicet 9, remanent 11. Quare multiplica 20 per 15,
erunt 300; que divide per 11, exibunt 3/11 27 pro pondere totius cuppe. Verum si
unamquamque ipsarum partium reperire volueris, cum fundus sit 1/4 totus cuppe, sume
1/4 de 20, quod est 5; que multiplica per 15, erunt 75; que divide per 11, exibunt
pro pondere fundi libre 9/11 6. Item cum coperclium sit 1/5 totius cuppe. Accipe 1/5 de 20,
que est 4; que multiplica per 15, erunt 60; que divide per 11, exibunt pro pondere
coperclii libre 5/11 5.
Item de cuppa.
Item est cuppa, cuius fundus est 1/4 1/3 cuperclii, et medii. Coperclium vero est 1/6 1/5
medii et fundi. Medianus cuppe ponderat libre 6. Queritur pondus fundi, et coperclii;
quia fundus est 1/4 1/3 residui: ergo si residuum ponderat libre 12, et fundus ponderat
libre 7; ergo tota cuppa ponderet libre 19: quare fundus ponderat 7/19 totius cuppe;
propter eandem rationem coperclium cum sit residui 1/6 1/5, erit 11/41 totius cuppe. Unde
describe in ordinem 11/41 7/19; et multiplicabis 7, que sunt super 19, per 41, erunt 287.
Item multiplicabis 11, que sunt super 41, per 19, erunt 209; que adde cum 287, erunt
496: et multiplicabis 19 per 41, erunt 779; de quibus extrahe 496, remanent 283: mul-
tiplica 779 per 6, erunt 4674; que divide per 283, exibunt 146/283 16 pro quantitate pon-
deris totius cuppe: et si multiplicaveris 287 per 6, et diviseris per 283, reperies 24/283 6
pro quantitate fundi. Iterum si multiplicaveris 209 per 6, et diviseris per 283, reperies
libras 123/283 4 pro pondere coperclii.
De IIIIor hominibus denarios habentibus.
Quattuor homines habent denarios. Denarii autem primi erant 1/4 1/3 denariorum alio-
rum trium: denarii autem secundi erant 1/6 1/5 aliorum trium: tertii autem erant 1/8 1/7 alio-
rum trium. Denarii autem quarti erant 27. Queritur quot denarios unusquisque reli-
quorum habebat: hec questio eandem retinent regulam cuppe sic: quod cum denarii
primi hominis sint 1/4 1/3 denariorum reliquorum trium hominum; ergo habet ipse 7/19 to-
tius summe eorum quattuor. Propter eadem et secundus habet 11/41 eiusdem summe.
Et cum tertius habeat 1/8 1/7 reliquorum: ergo si ipsi tres habent denarios 56, et ipse
habet 1/8 1/7 illorum, hoc est 15; ergo inter omnes habent denarios 71; de quibus ipse
habet 15/71: ergo assimilatur hec questio arboris, vel numero; de quo, extractis 15/71 11/41 7/19,
remanent 27: quod sic facias: multiplica 7, que sunt super 19, per 41; que per 71,
erunt 20377, que pone super 7/19. Iterum multiplica 11, que sunt super 41, per 71; que
per 19, erunt 14839, que pone super 11/40. Rursus multiplica 15, que sunt super 71, per
41; que per 19, erunt 11685, que pone super 15/71: adde itaque 20377 cum 14839, et cum
11685, erunt 46901; que extrahe ex multiplicatione de 19 in 41, et in 71, scilicet de
55309, remanebunt 8408; quibus reperies regulam que est 1/8 0/1051. Et multiplica 20377 per
27, erunt 550179; que divide per 1/8 0/1051. Et multiplica 20377 per 27, erunt 550179; que di-
vide per 1/8 0/1051, exibunt denarii 3/8 4/10 57/51 65; et tot habuit primus homo. Item multiplica
14839 per 27, erunt 400653; que divide per 1/8 0/1521, exibunt denarii 5/8 684/1051 47; et tot habuit
secundus. Item multiplica 11685 per 27, erunt 315495; que divide per 1/8 0/1051, exibunt de-
narii 7/8 6/10 49/51 37; et tot habuit tertius.
[p. 189]
Questio nobis proposita a peritissimo magistro musco constantinopolitano
in constantinopoli.
Item quinque homines bizantios habentes navem emere voluerunt; quorum primus
petit 1/5 2/3 reliquis IIIIor ipsorum bizantiorum. Secundus petit 1/480 1/6 2/3; tercius petit re-
liquis 1/638 1/6 2/3; quartus petit 1/420 1/7 2/3. Quintus petit reliquis 1/810 1/27 1/10 2/3. Quam questionem
ita ad suprascriptam regulam reducere studui. Quia primus petijt 1/5 2/3 , ipsas duas vir-
gulas in unam virgulam reduxi sic quod vidi de 1/5 2/3, in quo numero reperirentur, vi-
delicet in 15; et accepi de 2/3 de 15, que sunt 10, et 1/5 de 15, que est 3; et iunxi in-
simul, et fuerunt 13/15. Item eademque ratione de 1/480 1/6 2/3, que petijt secundus, feci aliam
vergulam, que est 401/480. Iterum de 1/638 1/6 2/3 feci aliam virgulam, scilicet in 341/420. Adhuc redigi
minuta petitionis quinti hominis, scilicet 1/810 1/27 1/10 2/3 in aliam virgulam, scilicet in 326/405,
et posui per ordinem 326/405 341/420 799/957 401/480 13/15; et habui eos pro prima positione. Deinde extraxi
13 de 15, remanserunt 2; super que posui 13 cum virgula sic : 13/2, quamvis non sit
maior numerus super virgulam ponendus. Item extraxi 401 de 480, remanent 79; super
que posui 401 cum virgula sic: 401/79. Item extraxi 799 de 957, remanserunt 158; super
[p. 249]
quem posui 799 cum virgula 779/158. Rursus minui 341 de 420, remanserunt 79; super
que posui 341 sic: 341/79. Adhuc extraxi 326 de 405, remanserunt 79; super que posui 326
sic 326/79. Postea posui ex parte sub prima positione 326/79 341/79 779/158 401/79 13/2. Et habui eas
pro secunda positione, ut hic ostenditur. Deinde inveni 158, in quibus reperiuntur
omnes rupti secunde positionis; et multiplicavi ipsa 158 per 13 prime positionis, et
divisi per 2, que sunt sub prima virgula secunde positionis, exierunt 1185: adhuc
multiplicavi 158 per 480, et divisi per 79, hoc est duplicavi 480, et habui 960. Item
multiplicavi prescripta 158 per 957 prime, et divisi per 158, exierunt inde 957. Rursus
multiplicavi eadem 158 per 420, et divisi per 79, que sunt sub 341, exierunt 840. Et
adhuc multiplicavi 158 per 405 prime positionis, et divisi per 79 que sunt sub 326
secunde, exierunt 810: cum quibus iunxi 1185, et 960, et 957, et 840 modo inventis,
fuerunt 4752; que cum debui habere pro summa cunctorum bizantiorum illorum quinque
hominum, et multiplicare 158 per numerum hominum, uno inde extracto, scilicet per
4, reliqui quod non multiplicavi 158 per 4, sed servavi ea pro residuo, quod remanet
semper IIIIor hominibus. Post emptionem navis, ideo quia bizantij 4752 integraliter
per prescripta 4 dividi possunt. Unde divisi 4752 per 4, exierunt bizantij 1188, quos
habuimus pro summa illorum quinque hominum; ex quibus extraxi servatuum residuum,
scilicet 158, remanserunt pro pretio navis bizantij 1030: deinde ut haberem bizantios
primi hominis, accepi 13/2 de 158, hoc est quod multiplicavi 158 per 13, et divisi per
2, exierunt 1027; que extraxi de pretio navis, scilicet de 1030, remanserunt bizantij
3; et tot habuit primus. Deinde ut haberem bizantios secundi, multiplicavi 158 per
401, que sunt super 79, et divisi per ipsum 79; et hoc est quod accepi 401/79 de 158,
que sunt 802, que extraxi de 1030, remanserunt bizantij 228; et tot habuit secundus.
Item ut haberem bizantios tercij hominis, accepi 799/158 de 158, videlicet de prescripto
residuo, fuerunt itaque 799; que extraxi de 1030, remanserunt bizantij 231; et tot
habuit tercius. Iterum accepi 341/79 de 158 sic quod divisi 158 per 79, exierunt 2; que
multiplicavi per 341, et habui 682; que extraxi de 1030 predictis, remanserunt 348; et
tot habuit quartus. Similiter accepi 326/79, scilicet quintam virgulam secunde positionis
de 158, et fuerunt 652; que extraxi de 1030, remanserunt 378; et tot habuit quintus.
4. Esempi di calcolo degli interessi.
[p. 250]
De duobus hominibus, qui habuerunt societatem in constantinopoli.
Duo homines pariter in constantinopolim habuerunt insimul societatem; quorum unus
perrexit alexandriam negotiandi causa, et tulit secum de comuni hentica quantum libuit;
stetitque ibi annis 5, et diebus 70, et lucrabatur quintam sui capitalis in uno quoque
anno, et inde expendebat per annum bizantios 25. Alius qui remanserat constantino-
polim lucrabatur in uno quoque anno septimam sui capitalis; et inde expendebat bizan-
tios 37. In fine autem dictorum 5 annorum, et 70 dierum, cum socijs eius fuisset
reversus, nil ei remansit; et socius eius lucratus fuit in suprascripto termino quantum
a principio socio suo remanserat. Queritur, quantum unusquisque habuit de eorum
hentica comuni. In hac questione due viagiorum regule, vel domus competenter possunt
intelligi: prima quidem de ipso, qui constantinopolim remanserat, cum in unoquoque
anno septimum sui capitalis lucraretur, talis est ac si diceretur, quod de 7 faciebat
8; pro 5 enim annis, et diebus 70, viagij 5, et 70/360 unius viagij intelligitur. Et expen-
dium unius cuiusque anni, quod faciebat, scilicet bizantij 37, est tantum, quantum si
diceres, quod in uno quoque viagio ipsos expenderet; vel quod in uno quoque anno ex-
computabat ipsos pro pensione domus: et cum ei nil remansisse proponatur, inci-
piendum est, secundum regulam domus, ab illis 70 diebus, videlicet ut invenias de
quanto capitali potuit facere expendium, quod in illis 70 diebus fecerat; quod sic
[p. 274]
invenire per regulam domus docuimus: scilicet quia cum in anno de 7 facit 8; ergo
in diebus 70 de 7 facit 7/30 7 unius bizantij, cum ipsi 70 dies sint 7/36 unius anni: ergo
de 252 facit 259, hoc est quod de 36 facit 37. Quare describendi sunt 36/37; deinde videas
quantum expendium accidit illis diebus 70. Multiplica enim expendium anni, scilicet
37 per dies 70; et divide per 360, exibunt bizanti 3/4 1/9 7; et tantum est expendium 70
dierum; quod multiplica per 36, que sunt super 37; et divide per ipsa 37, exibunt
bizanti 7; et tantum habuit ipse post moram quinque annorum. Deinde ex anno in
annum usque quod ad caput primi anni devenies, sicuti in domus regula fecimus, stu-
deas operari; videlicet ut cum repertis modo septem bizanthijs addas expendium quinti
anni, scilicet 37, erunt 44; que multiplica per 7, et divide per 8; ideo quia de 7 facit
8, exibunt 1/2 38; et tantum remanserat ei, cum iam IIIIor transierant anni: super quos
adde expendium quarti anni, scilicet 37, erunt bizantij 1/2 75; que multiplica per 7,
et divide per 8, exibunt bizantij 10/28 66; et tantum remansit ei post triennium: cum
quibus adde expendium tercij anni, videlicet 37, erunt 10/28 103; que multiplica per 7,
et divide per 8, exibunt bizantij 1/2 3/8 1/8 90; et tantum remansit ei post biennium:
cum quibus additis bizantijs 37, quos expenderat in secundo anno, erunt 1/2 3/8 1/8 125;
que multiplica per 7, et divide per 8, exibunt bizantij 1/2 0/8 2/8 2/8 111; et hoc est quod
remanserat ei post expendium primi: cum quibus additis bizantijs 37, scilicet ipsius
anni expendium, erant bizantij 1/2 0/8 2/8 2/8 148; quos multiplica per 7, et divide per 8;
que multiplicatio sic fit: protrahes virgam, sub qua sint 2, et 8, et 8, et 8, sicuti sunt
sub virga numeri, quem multiplicare vis per 7; sub qua etiam ex parte dextra pones
8, scilicet divisorem, et multiplicabis 7 per 1, quod est super 2, et erunt 7; que di-
vides per eadem 2, exibunt 3, et remanet 1: pone remanens 1 super 2, et 3 serva
in manu; et multiplica 7 per 0, quod est super 8, veniet 0, quod adde cum 3 ser-
vatis, erunt 3; que divides per 8, qui inter divisores octonarios est primus divisor,
exibit 0, et remanent 3: pone 3 super ipsa 8, et multiplica 7 per 2, que sunt super
secundum octonarium, erunt 14; quibus divisis per eadem 8, exijt 1, et remanent 6:
pone 6 super 8, qui inter divisores octonarios est secundus, et reserva 1; et multi-
plica 7 per 2, que sunt super 8 in ultimo virge, erunt 14; cum quibus adde unum
servatum, erunt 15; que divide per penultima 8 virge servate, exibit 1, et remanent
7: pone 7 super ipsa 8, et serva 1; quod adde multiplicationi de 7 in 148, erunt 1037;
que divide per 8, que sunt ultima sub virga protracta, exibunt bizantij 1/2 3/8 6/8 7/8 5/8 129;
et tantum habuit de comuni hentica ipse, qui constantinopolim remanserat. Deinde ac-
cedendum est ad eum, qui alexandriam perrexerat; quod secundum viagiorum vel do-
mus regulam oportet operari, scilicet per eam, in qua preponitur de ipso, qui tenuerat
domum annis 5, et diebus 70; et super ipsius capitale lucratus fuit in finem bizantios
1/2 3/8 6/8 7/8 5/8 129, videlicet eos, qui remanserunt ei, qui constantinopolim permanserat: que
sic superius esse operanda demonstravimus, videlicet ut primum inveniatur de quantis
bizanthijs potest tantum proficuum habere, unde possit de proficuo facere expendium;
et ipsi in finem non comminuantur; qui sic invenientur. Accipe bizantios 25, qui sunt
expendium, et multiplica eos per 5. Ideo quia lucrabatur 1/5 sui capitalis, erunt 125;
de quorum lucro potes facere expendium; et in fine non comminuentur. Deinde quia
de 5 facit 6, scribende sunt 5/6 quinquies propter annos 5 sic: 5/6 5/6 5/6 5/6 5/6. Rursum
[p. 275]
quoniam in uno quoque anno de 5 facit 6; ergo in diebus 70 de 5 facit 7/36 5, hoc est,
quod de 180 facit 187: quare ponenda sunt 180 super 187, et describenda in ordine cum
alijs 5/6 sic: 180/187 5/6 5/6 5/6 5/6 5/6: deinde multiplica omnes numeros, qui sunt super virgulis,
erunt 562500, que habeantur loco capitalis; que extrahe ex multiplicatione numerorum,
qui sunt sub virgulis, que est 1454112, que habentur loco capitalis, et lucri, remanent
897612 pro lucro: in quorum regula divide multiplicationem de 5625 in 1/2 3/8 6/8 7/8 5/8 129, sci-
licet in capitale ipsius, qui constantinopolim remanserat, exibunt bizanti 171402169/2888824767 81,
qui sunt bizantij; cum quibus ipse absque expendio lucratus fuerit bizantios, qui re-
manserunt, qui constantinopolim remanserat: cum quibus adde 125, cum quibus totum
expendium lucrabatur, erunt bizantij 1714021169/2888824767 206; et tantum portavit de co-
muni hentica ipse, qui in alexandriam perrexerat.
[p. 276]
(revised 22-11-2001) Fibonacci, Leonardo.
Elena Pierazzo
Crediti | Info testo
|
|
|
